IEEE 754标准

在C/C++等编程语言中，浮点数在计算机中的表示采用的是IEEE 754标准。该标准一共的规定了四种表示浮点数值的方式，其中常见的表示方式有两种：单精确度（32位）和双精确度（64位）。这两种表示方式在C/C++语言中分别可以用float和double关键字来定义。

单精度浮点数的表示方法

单精度浮点数的表示方法其实就是把一个32位分成了三个部分：

  1. 第一个部分，占1位，表示浮点数的符号，英文Sign，简称为S。
  2. 第二个部分，占8位，表示浮点数的指数，英文Exponent，简称为E。
  3. 第三个部分，占23位，表示浮点数的尾数，英文Mantissa，简称为M。

如下图所示：

 31         22                    0
+----------------------------------+
|S|EEEEEEEE|MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM|
+----------------------------------+
   30     23

对应浮点数表示的值为：

(−1)S⋅(1+M223)⋅2(E−127)(-1)^S \cdot (1 + \frac{M}{2^{23}}) \cdot 2^{(E-127)}

结合上面的公式，来理解各个部分的意义就更容易了：

  1. 符号部分，(−1)S(-1)^S

    当S为0时，(−1)0=1(-1)^0 = 1，表示浮点数的值大于0；同理，当S为1时，(−1)1=−1(-1)^1 = -1，表示浮点数的值小于0。

  2. 指数部分，2(E−127)2^{(E-127)}

    首先要明白：对于任何一个正实数x，都可以找到一个整数n，使得2n<=x<2n+12^n <= x < 2^{n+1}。举个例子，比如5，可以找到n=2，使得22<=5<232^2 <= 5 < 2^3，即4<=5<84 <= 5 < 8。浮点数中的指数部分就是这里的n。

    那么为什么还要减去127呢？因为当浮点数值的绝对值小于1时，指数部分其实是小于0的。举个例子，比如0.45，只有n=−2n=-2时，使得2−2<=0.45<2−12^{-2} <= 0.45 < 2^{-1}，即0.25<=0.45<0.50.25 <= 0.45 < 0.5。而浮点数中指数部分占8位，可以表示范围[0-282^8)，即[0-256)，为了在指数部分能够表示负数，IEEE 754规定减去127，即n=E−127n = E - 127。所以，如果浮点数的n=−2n=-2，那么实际的E应该是125。

  3. 尾数部分，(1+M223)(1 + \frac{M}{2^{23}})

    尾数部分占23位，可以表示范围[0-2232^{23})，即[0-8388608)。

    可以这样理解尾数部分：把一条线分成8388608个段，也就是把2n2^n到2n+12^{n+1}分成8388608个线段。尾数部分的值M，表示从2n2^n到浮点数值的绝对值x所要经过的线段数量，也就是2n2^n到x的长度占2n2^n到2n+12^{n+1}长度的比例是多少。这个比例的值就是尾数部分公式中M223\frac{M}{2^{23}}的来由，而加1则表示线段的起点2n2^n的值。

单精度浮点数举例

有了上面的说明，再结合例子来理解一下，比如浮点数3.14：

  1. 符号部分

    因为3.14大于0，所以S=0S = 0。

  2. 指数部分

    21<=3.14<222^1 <= 3.14 < 2^2，所以n=1n=1，那么E=n+127=128E = n + 127 = 128。

  3. 尾数部分

    212^1到3.14的长度占212^1到222^2长度的比例是(3.14−21)(22−21)=0.57\frac{(3.14 - 2^1)}{(2^2 - 2^1)} = 0.57

总线段数量为2232^{23}，那么，从212^1到3.14所要经过的线段数量M=0.57∗223=4781506.56M = 0.57 * 2^{23} = 4781506.56，四舍五入，转换成整数结果为M=4781507M = 4781507。因为有四舍五入，所以浮点数保存的数据和实际数据是有误差的。

把S、E、M转换成二进制，就可以得到3.14的二进制表示0x4048f5c3：

 S     E             M
+----------------------------------+
|0|10000000|10010001111010111000011|
+----------------------------------+

最后代入浮点数公式计算：

(−1)0⋅(1+4781507223)⋅2(128−127)=3.1400001049041748046875(-1)^0 \cdot (1 + \frac{4781507}{2^{23}}) \cdot 2^{(128-127)} = 3.1400001049041748046875

也可以使用IEEE-754浮点数转换工具来分析浮点数的表示方法。

双精度浮点数的表示方法

双精度浮点数和单精度浮点数的原理是一样的，只是各个部分长度不同而已。

双精度浮点数的表示方法其实就是把一个64位分成了三个部分：

  1. 第一个部分，占1位，表示浮点数的符号，英文Sign，简称为S。
  2. 第二个部分，占11位，表示浮点数的指数，英文Exponent，简称为E。
  3. 第三个部分，占52位，表示浮点数的尾数，英文Mantissa，简称为M。

对应浮点数表示的值为：

(−1)S⋅(1+M252)⋅2(E−1023)(-1)^S \cdot (1 + \frac{M}{2^{52}}) \cdot 2^{(E-1023)}